Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E.

（1）求證：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連結OD，∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE=90°，

∴∠ADE+∠BDO=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

又∵OD=OB，

∴∠B=∠BDO，

∴∠ADE=∠A.

（2）

解：連結CD，∵∠ADE=∠A，

∴AE=DE，

∵BC是⊙O的直徑，∠ACB=90°.

∴EC是⊙O的切線，∴DE=EC，

∴AE=EC.

又∵DE=10，

∴AC=2DE=20，

在Rt△ADC中，DC= .

設BD=x，

在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202,

∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9，

∴BC= .

【解析】（1）連結OD，根據切線的性質和同圓的半徑相等，及圓周角所對的圓周角為90°，得到相對應的角的關系，即可證明；（2）由（1）中的∠ADE=∠A可得AE=DE；由∠ACB=90°，可得EC是⊙O的切線，由切線長定理易得DE=EC，則AC=2DE，由勾股定理求出CD；設BD=x，再可由勾股定理BC2= x2+122=(x+16)2-202,可解出x的值，再重新代入原方程，即可求出BC.
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．