Question

24、如圖，直線CD經過線段AB的一個端點B，∠ABC=50°，點P為直線CD上一點；已知△PAB是以AB為底邊的等腰三角形，⊙O是以AB為直徑的圓．
（1）用圓規和直尺在圖中找出點P，并作出⊙O；
（2）用圓規和直尺過點P作出⊙O的一條切線；
（3）若將將條件“∠ABC=50°”改為“∠ABC=α（0°＜α＜90°）”討論當α在不同范圍內時過點P能作⊙O的切線的條數．（第（1）、（2）小題保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）

Answer 1

分析：（1）由△PAB是以AB為底邊的等腰三角形，即PA=PB，故P點在線段AB的垂直平分線上；
（2）設過P點的直線與⊙O相切于E點，則∠POE=90°，故應以OP為直徑作圓交⊙O于點E，連接PE即可；
（3）當α=45°時，OP=OB，且PA=PB，故P點在圓上，過點P能作⊙O的1條切線，當0°＜α＜45°時，P點在圓內，過點P能作⊙O的0條切線，當45°＜α＜90°時，P點在圓外，過點P能作⊙O的2條切線．

解答：解：（1）如圖，作AB的中垂線交直線CD于點P，
則點P即為所求的點；

（2）以OP為直徑作圓交⊙O于點E，
則直線PE即是⊙O的一條切線；

（3）當0°＜α＜45°時，過點P能作⊙O的0條切線，
當α=45°時，過點P能作⊙O的1條切線，
當45°＜α＜90°時，過點P能作⊙O的2條切線．

點評：本題考查了圓的切線的畫法．關鍵是明確P點的位置，以OP為直徑畫圓，利用直徑所對的圓周角為直角，達到判斷切線的目的．