Question

如圖，點P是∠AOB內的一點，過點P作PC∥OB，PD∥OA，分別交OA、OB于點C、D，且PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為點E、F．
（1）求證：OC•CE=OD•DF；
（2）當點P位于∠AOB的什么位置時，四邊形CODP是菱形并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）欲證OC•CE=OD•DF，可證△PCE∽△PDF；
（2）通過一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（菱形定義）可知點P在∠AOB的位置．

解答：（本題共2小題，第（1）小題（5分），第（2）小題（5分），滿分10分）
證明：（1）∵PC∥OB，PD∥OA，
∴四邊形OCPD是平行四邊形，且∠ECP=∠O，∠FDP=∠O．（1分）
∴PC=OD，PD=OC，∠ECP=∠FDP．（1分）
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEC=∠PFD=90°．
∴△PCE∽△PDF．（1分）
∴

CE

DF

=

PC

PD

．
即得

CE

DF

=

OD

OC

．（1分）
∴OC•CE=OD•DF．（1分）

（2）當點P在∠AOB的平分線上時，四邊形CODP是菱形．（1分）
∵當點P在∠AOB的平分線上時，由PE⊥OA，PF⊥OB，得PE=PF，
∴由△PCE∽△PDF，得

PE

PF

=

PC

PD

=1，即得PC=PD．（2分）
∵四邊形CODP是平行四邊形，
∴四邊形CODP是菱形．（1分）
當點P不在∠AOB的平分線上時，可得PE≠PF．即得PC≠PD．
∴當點P不在∠AOB的平分線上時，四邊形CODP不是菱形．（1分）

點評：乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，本題考查相似三角形的判定和性質及菱形判定的理解及運用．