Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°、∠A=30°，在AC邊上取點O畫圓，使⊙O經過A、B兩點，下列結論正確的序號是 （多填或錯填得0分，少填酌情給分）．

①AO=2CO；

②AO=BC；

③以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切；

④延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：連接OB，可得∠ABO=30°，則∠OBC=30°，根據直角三角形的性質得OC=OB=OA，再根據三角函數cos∠OBC=，則BC=OB，因為點O在∠ABC的角平分線上，所以點O到直線AB的距離等于OC的長，根據垂徑定理得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點A、B、D將⊙O的三等分．

解：連接OB，∴OA=OB，

∴∠A=∠ABO，

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠OBC=30°，

∴OC=OB=OA，

即OA=2OC，

故①正確；

∵cos∠OBC=，

∴BC=OB，

即BC=OA，

故②錯誤；

∵∠ABO=∠OBC=30°，

∴點O在∠ABC的角平分線上，

∴點O到直線AB的距離等于OC的長，

即以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切；

故③正確；

延長BC交⊙O于D，

∵AC⊥BD，

∴AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴==，

∴點A、B、D將⊙O的三等分．

故④正確．

故答案為①③④．