Question

如圖，以Rt△ABC的一條直角邊AB為直徑作⊙O，與AC交于點F，在AB的延長線上取一點E，聯結EF與BC交于點D，且使得DF＝CD．

(1)求證：FE是⊙O的切線

(2)如果sin∠A＝，AE＝，求AF的長

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：聯結OF 　　∵OA＝OF　∴∠OAF＝∠OFA 　　∵DF＝DC．　∴∠DFC＝∠DCF　1分 　　∵∠ABC＝90° 　　∴∠OAF＋∠FCD＝90° 　　∴∠AFO＋∠DFC＝90° 　　∴∠OFD＝90°　2分 　　∴CD與⊙O相切　3分 　　(2)∵sin∠A＝　∴∠A＝30°　∴∠ACB＝60° 　　在Rt△ABC和Rt△CBE中，∠A＝30°，∠BEF＝30° 　　設BD＝x，則BE＝x，BC＝2x， 　　∴AC＝4x　∴AB＝2　AE＝3 　　∴x＝，即BD＝CD＝ 　　∴AC＝　4分 　　聯結BF，則有DF＝BC 　　又∵∠BFC＝90°　∴DB＝DF＝DC， 　　∵∠ACB＝60° 　　∴△DFC為等邊三角形 　　∴CF＝DF＝ 　　∴AF＝AC－CF＝1　5分