Question

【題目】在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，D 是 AB 的中點，點 E 是邊 AC 上的一動點，點F 是邊 BC 上的一動點．

（1）若 AE=CF，試證明 DE=DF；

（2）在點 E、點 F 的運動過程中，若 DE⊥DF，試判斷 DE 與 DF 是否一定相等？ 并加以說明．

（3）在（2）的條件下，若 AC=2，四邊形 ECFD 的面積是一個定值嗎？若不是， 請說明理由，若是，請直接寫出它的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析;(3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．

【解析】

(1)根據已知條件，運用SAS判定△DAE≌△DCF,即可得出對應邊DE= DF,

(2)根據 ASA判定△DAE≌△DCF,即可得出DE=DF，

(3)根據△DAE≌△DCF,可得S△ADE =S△DCF,進而得出S四邊形ECFD =S△DCF +S△CDE =S△ADE +S△CDE=S△ACD,再根據S△ACD=S△ABC=1,即可解題。

解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，

∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（SAS），

∴DE=DF；

（2）DE與DF一定相等．

證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，

∴∠A=∠DCF=45°，CD=AB=AD，CD⊥AB，

∴∠ADC=∠EDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△DAE和△DCF中，

，

∴△DAE≌△DCF（ASA），

∴DE=DF；

（3）四邊形 ECFD的面積是一定值1．

由（2）可得，△DAE≌△DCF，

∴△ADE的面積=△DCF的面積，

∴四邊形ECFD的面積=△DCF的面積+△CDE的面積=△ADE的面積+△CDE的面積=△ACD的面積，

又∵∠ACB=90°，AC=BC=2，

∴△ABC的面積=×2×2=2，

又∵D是AB的中點，

∴△ACD的面積=×△ABC的面積=1，

即四邊形ECFD的面積=1．