Question

如圖，在菱形中，，，為邊中點，點從點開始沿方向以每秒cm的速度運動，同時，點從點出發沿方向以每秒的速度運動，當點到達點時，同時停止運動，設運動的時間為秒．

（1）當點在線段上運動時．

①請用含的代數式表示的長度；

②若記四邊形的面積為，求關于的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）顯然，當時，四邊形即梯形，請問，當在線段的其他位置時，以為頂點的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD

    ∵AB=2  ∴OB=OD=1，OA=OC=

    ∴OP= ………      ……2分

    ②過點E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線

    ∴   ∵DQ=x       ∴BQ=2-x

    ∴

                  …………………………3分                

    （2）能成為梯形，分三種情況：

    當PQ∥BE時，∠PQO=∠DBE=30°

        ∴

        即  ∴x=

此時PB不平行QE，∴x=時，四邊形PBEQ為梯形.   …………………………2分

    當PE∥BQ時，P為OC中點

        ∴AP=，即

        ∴

        此時，BQ=2-x=≠PE，∴x=時，四邊形PEQB為梯形.   …………………………2分

    當EQ∥BP時，△QEH∽△BPO

        ∴    ∴

        ∴x=1（x=0舍去）

        此時，BQ不平行于PE，

∴x=1時，四邊形PEQB為梯形.     ………………………………2分

    綜上所述，當x=或或1時，以P，B，E，Q為頂點的四邊形是梯形.……………1分