Question

某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件．已知生產一件A產品需要甲種原料9千克，乙種原料3千克，同時可獲利700元，生產一件B產品需要甲種原料4千克，乙種原料10千克，獲利1200元，現設生產x件A產品．
（1）請用x的式子分別表示生產A、B兩種產品共需要

 

千克甲種原料，

 

千克乙種原料？
（2）根據現有原料，請你設計出安排生產A、B兩種產品件數的生產方案．
（3）若生產一件A產品可獲利700元，生產一件B產品可獲利1200元，生產兩種產品獲總利潤y元，寫出y與x之間的函數關系

 

．
（4）結合（2）（3），算出哪種生產方案獲利最大，最大為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據題中生產x件A產品，可以根據題中條件找到生產A、B兩種產品共需要多少千克甲種原料，多少千克乙種原料．
（2）找出滿足已知條件的方案，討論是否可行．
（3）根據題意可以列出寫出y與x之間的函數關系．
（4）分析討論（2）（3）哪種方案獲利最大．

解答：解：（1）已知生產x件A產品，則生產了50-x件B產品，A產品需要甲種原料9千克，乙種原料3千克，生產一件B產品需要甲種原料4千克，乙種原料10千克，所以共需要甲種原料9x+4（50-x）=200+5x；共需要乙種原料3x+10（50-x）=500-7x；

（2）根據題中條件甲種原料360千克，乙種原料290千克，
∴200+5x≤360，500-7x≤290，
可得x的取值范圍為30≤x≤32，所以可以分3種情況
①生產A產品30件，B產品20件；
②生產A產品31件，B產品19件；
③生產A產品32件，B產品18件；

（3）生產一件A產品可獲利700元，生產一件B產品可獲利1200元，生產兩種產品獲總利潤y元，生產x件A產品，
則可以得出y=700x+1200（50-x）=60000-500x．

（4）從（3）y與x的關系式可知，y隨x的增大而減少，所以當x等于30時，獲利最大，此時獲利為
y=60000-500×30=45000，所以當生產A產品30件，B產品20件時獲利最大．
故答案為：（1）200+5x，500-7x，（3）y=60000-500x，（4）45000．

點評：本題考查了一元函數的應用，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．注意利用一次函數求最值時，關鍵是應用一次函數的性質；即由函數y隨x的變化，結合自變量的取值范圍確定最值．