Question

如圖，某人在一棟高層建筑頂部C處測得山坡坡腳A處的俯角為60°，又測得山坡上一棵小樹樹干與坡面交界P處的俯角為45°，已知OA=50米，山坡坡度為

1

2

（即tan∠PAB=

1

2

，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一條直線上．
（1）求此高層建筑的高度OC；
（2）求坡腳A處到小樹樹干與坡面交界P處的坡面距離AP的長度．（人的高度及測量儀器高度忽略不計，結果保留根號形式）

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAC中，易知∠OAC的度數，通過解直角三角形即可得到OC的長；
（2）過P作OC的垂線，設垂足為M．在Rt△PMC中，易知∠CPM=45°，則CM=PM．可用PB分別表示出CM、PM的長，進而根據CM=PM得到關于PB的等量關系式，據此求出PB的長，然后在Rt△PAB中，根據勾股定理求得斜坡AP的長度．

解答：解：（1）Rt△OAC中，∠OAC=60°，OA=50米，
∴OC=OA•tan60°=50

3

米．
答：此高層建筑的高度OC為50

3

米．

（2）過P作PM⊥OC于M．
Rt△PMC中，∠CPM=45°，則PM=CM．
Rt△PBA中，tan∠PAB=

1

2

．
設PB=x，則AB=2x．
CM=OC-OM=50

3

-x，PM=OA+AB=50+2x．
∴50

3

-x=50+2x，
即x=

50 3 -50

3

．
∵AB=2x，AP=

AB2+PB2

=

x2+(2x)2

=

5

x，
∴AB=

100 3 -100

3

（米），
AP=

50 15 -50 5

3

（米）．
答：坡腳A處到小樹樹干與坡面交界P處的坡面距離AP的長度為

50 15 -50 5

3

（米）．

點評：此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力．