Question

如圖，把△OAB放置于平面直角坐標系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

3

2

，把△OAB沿x軸的負方向平移2OA的長度后得到△DCE．
（1）若過原點的拋物線y=ax²+bx+c經過點B、E，求此拋物線的解析式；
（2）若點P在該拋物線上移動，當點P在第一象限內時，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連結OP．若以O、P、Q為頂點的三角形與以B、C、E為頂點的三角形相似，直接寫出點P的坐標；
（3）若點M（-4，n）在該拋物線上，平移拋物線，記平移后點M的對應點為M′，點B的對應點為B′．當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）依題意得：B(2，

3

2

)．
∵OC=2，CE=

3

2

，∴E(-2，

3

2

)．
∵拋物線經過原點和點B、E，∴設拋物線的解析式為y=ax²（a≠0）．
∵拋物線經過點B(2，

3

2

)，
∴

3

2

=4a．解得：a=

3

8

．
∴拋物線的解析式為y=

3

8

x2；

（2）∵點P在拋物線上，
∴設點P的坐標為（x，

3

8

x²）．
分兩種情況：
（i）當△OQP∽△BEC時，則

PQ

CE

=

OQ

BE

，即

3 8 x2

3 2

=

x

4

，解得：x=1，
∴點P的坐標為（1，

3

8

）；
（ii）當△PQO∽△BEC時，則

PQ

BE

=

OQ

EC

，即

3 8 x2

4

=

x

3 2

，解得：x=

64

9

，
∴點P的坐標為（

64

9

，

512

27

）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標是P(1，

3

8

)或P(

64

9

，

512

27

)；

（3）存在．
因為線段M'B'和CD的長是定值，所以要使四邊形M'B'CD的周長最短，只要使M'D+CB'最短．如果將拋物線向右平移，
顯然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形M′B′CD的周長最短，顯然應該將拋物線y=

3

8

x2向左平移．
由題知M（-4，6）．
設拋物線向左平移了n個單位，則點M'和B′的坐標分別為M′（-4-n，6）和B′（2-n，

3

2

）．
因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B″（-n，

3

2

）．
要使M'D+CB'最短，只要使M'D+DB″最短．
點M′關于x軸對稱點的坐標為M″（-4-n，-6）．
設直線M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），點D應在直線M″B″上，
∴直線M″B″的解析式為y=

6

n

x+

24

n

將B″（-n，

3

2

）代入，求得n=

16

5

．
故將拋物線向左平移

16

5

個單位時，四邊形M′B′CD的周長最短，此時拋物線的解析式為y=

3

8

(x+

16

5

)2．