Question

【題目】如圖，點P在射線AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，點M是射線AB上的動點(點M不與點A重合)，現將點P繞點A按順時針方向旋轉60°到點Q，將點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N，連接AQ，PM，PN，作直線QN.

(1)求證:AM=QN.

(2)直線QN與以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓是否存在相切的情況?若存在，請求出此時AM的長，若不存在，請說明理由.

(3)當以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓經過點Q時，直接寫出劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析； (2)存在.理由見解析； (3)劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積為π.

【解析】

（1）根據旋轉的旋轉判斷出△APQ為等邊三角形，再判斷出∠APM=∠QPN，從而得出△APM≌△QPN即可；
（2）由直線和圓相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出結論；
（3）先判斷出PA=PQ，再判斷出PQ=PN=PM，進而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面積公式即可．

(1)如圖1,連接PQ,由點P繞點A按順時針方向旋轉60°到點Q,

可得AP=AQ,∠PAQ=60°,

∴△APQ為等邊三角形,

∴PA=PQ,∠APQ=60°,

由點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N,

可得PM=PN,∠MPN=60°,

∴∠APM=∠QPN,則△APM≌△QPN(SAS),

∴AM=QN.

(2)存在.理由如下:

如圖2,由(1)中的證明可知△APM≌△QPN,

∴∠AMP=∠QNP,

∵直線QN與以點P為圓心,以PN的長為半徑的圓相切,

∴∠AMP=∠QNP=90°,即PN⊥QN.

在Rt△APM中,∠PAB=45°,PA=2,

∴AM=.

(3)由(1)知△APQ是等邊三角形,

∴PA=PQ,∠APQ=60°.

∵以點P為圓心,以PN的長為半徑的圓經過點Q,

∴PN=PQ=PA.

∵PM=PN,

∴PA=PM,

∵∠PAB=45°,

∴∠APM=90°,

∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°.

∵∠MPN=60°,

∴∠QPN=90°,

∴劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積是扇形QPN的面積,而此扇形的圓心角∠QPN=90°,半徑為PN=PM=PA=2.

∴劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積==π.