Question

【題目】問題背景:

如圖（a）,點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于l的對稱點B′,連接A B′與直線l交于點C，則點C即為所求.

（1）實踐運用：

如圖(b)，已知，⊙O的直徑CD為4，點A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 為弧AD 的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為 ．

（2）知識拓展：

如圖(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）

【解析】

（1）找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置，根據題意先求出∠C′AE，再根據勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；

（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連接BB′，再過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連接BE，則線段B′F的長即為所求．

（1）如圖作點B關于CD的對稱點E，連接AE交CD于點P，此時PA+PB最小，且等于AE．

作直徑AC′，連接C′E，根據垂徑定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，

∴∠AOD=60°，∠DOE=30°

．∴∠AOE=90°．

∴∠C′AE=45°．

又AC為圓的直徑，

∴∠AEC′=90°．

∴∠C′=∠C′AE=45°．

∴C′E=AE=AC′=．

∴AP+BP的最小值是．

（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連接BB′．

∵AD平分∠BAC，

∴點B與點B′關于直線AD對稱．

過點B′作B′F⊥AB,垂足為F，交AD于E，連接BE．

則線段B′F的長即為所求 (點到直線的距離最短) ．

在Rt△AFB/中，

∵∠BAC=450, AB/=AB= 10，

∴．

∴BE+EF的最小值為