Question

如圖1，O為圓柱形鐵桶底面的圓心，過底面的一條弦AD，沿母線AB剖開，得剖面矩形ABCD，AD=30cm．測量出AD所對的圓心角為120°，如圖2所示．
（1）求⊙半徑；
（2）若將圖2中的△AOD割掉，用剩下的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑應是多少cm．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）連接OA、OD，過O點作OE⊥AD，垂足為E，如圖2所示，由OE垂直于AD，利用垂徑定理得到E為AD的中點，由AD的長求出AE的長，同時由OA=OD，OE垂直于AD，利用三線合一得到OE為∠AOD的平分線，由∠AOD的度數求出∠AOE的度數，在直角三角形AOE中，由AE的長，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出OA的長，即為圓O的半徑；
（2）由扇形弧長等于底面圓的周長，進而求出圓錐的底面半徑．

解答：解：（1）連接OA、OD，過O點作OE⊥AD，垂足為E，如圖2所示，
∵OE⊥AD，∠AOD=120°，AD=30cm，
∴AE=DE=

1

2

AD=15cm，∠AOE=

1

2

∠AOB=60°，
在Rt△AOE中，sin∠AOE=

AE

OA

，
∴OA=

AE

sin∠AOE

=

15

sin60°

=10

3

（cm），
則圓O的半徑為10

3

cm；

（2）∵AD所對的圓心角為120°，
∴

AmD

=

240π×10 3

180

=2πr，
解得：r=

20 3

3

（cm）．

點評：此題考查了垂徑定理的應用，涉及的知識有：銳角三角函數定義，垂徑定理，特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．