Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CM．
（1）求證：∠ACM=∠ABC；
（2）延長BC到D，使BC = CD，連接AD與CM交于點E，若⊙O的半徑為3，ED = 2,求∆ACE的外接圓的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接OC，根據圓周角定理、切線的性質和等腰三角形等邊對等角的性質，應用角的轉換即可證得結論.
（2）由已知可得OC是△ABC的中位線，從而可得ΔAEC是直角三角形，即AEC的外接圓的直徑為AC，通過證明ΔABC∽ΔCDE求得BC的長，在RtΔABC中應用勾股定理求出AC的長，從而得到∆ACE的外接圓的半徑．
試題解析：（1）如圖，連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB =" 90°." ∴∠ABC＋∠BAC= 90°.
又∵CM是⊙O的切線，∴OC⊥CM. ∴∠ACM＋∠ACO=" 90°" .
∵CO = AO，∴∠BAC =∠ACO. ∴∠ACM =∠ABC.

（2）∵BC = CD，BO = OA，∴OC∥AD.
又∵OC⊥CE. ∴AD⊥CE. ∴ΔAEC是直角三角形. ∴ΔAEC的外接圓的直徑為AC.
又∵∠ABC＋∠BAC= 90°，∠ACM＋∠ECD = 90°，∠ABC =∠ACM，∴∠BAC =∠ECD.
又∵∠CED =∠ACB = 90°，∴ΔABC∽ΔCDE. ∴.
∵⊙O的半徑為3，ED = 2，∴AB = 6.∴，解得.
∴在RtΔABC中，.
∴ ΔAEC的外接圓的半徑為.