Question

【題目】在∠ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝．

（1）如圖1，分別過A、C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分別為M、N，若點B恰好是線段MN的中點，求tan∠BAM的值；

（2）如圖2，P是邊BC延長線上一點，∠APB＝∠BAC，求tan∠PAC的值．

Answer 1

【答案】（1）tan∠BAM＝；（2）tan∠PAC＝．

【解析】

（1）先證明∠M＝∠N＝90°，∠MAB＝∠NBC，那么△AMB∽△BNC，根據相似三角形對應邊成比例得出＝tan∠BAC＝．由線段中點的定義可得BM＝BN，然后在Rt△AMB中，利用正切函數的定義即可求出tan∠BAM的值；

（2）過點C作CD⊥AC交AP于點D，過點D作DE⊥BP于點E．根據正切函數的定義得出tan∠BAC＝，tan∠APB＝．而∠APB＝∠BAC，那么可設BC＝x，則AB＝2x，得出BP＝4x，則CP＝3x．同理（1）中，易證∠BAC＝∠ECD，根據等腰三角形的判定與性質得出CE＝EP＝CP＝x．再證明△ABC∽△CED，根據相似三角形對應邊成比例得出，然后在Rt△ACD中，利用正切函數的定義即可求出tan∠PAC的值．

（1）如圖 1．

∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠M＝∠N＝90°，

∴∠MAB+∠ABM＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠NBC+∠ABM＝90°，

∴∠MAB＝∠NBC，

∴△AMB∽△BNC，

∴＝tan∠BAC＝．

∵點B是線段MN的中點

∴BM＝BN，

∴在Rt△AMB中，tan∠BAM＝；

（2）如圖2，過點C作CD⊥AC交AP于點D，過點D作DE⊥BP于點E．

∵tan∠BAC＝，∠APB＝∠BAC，

∴tan∠BAC＝，tan∠APB＝．

設BC＝x，則AB＝2x，BP＝4x，則CP＝BP﹣BC＝4x﹣x＝3x．

同理（1）中，可得∠BAC＝∠ECD，

∴∠APB＝∠ECD．

∵DE⊥BP，

∴CE＝EP＝CP＝x．

同理（1）中，可得△ABC∽△CED，

∴，

∴在Rt△ACD中，tan∠PAC＝．