Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）求點A的坐標；
（2）當∠ABC=45°時，求m的值；
（3）已知一次函數y=kx+b，點P（n，0）是x軸上的一個動點，在（2）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數的圖象于點M，交二次函數y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的圖象于N．若只有當﹣2＜n＜2時，點M位于點N的上方，求這個一次函數的解析式．＝＝

Answer 1

點A的坐標為（﹣1，0）；m=1；y=﹣2x+1

試題分析：
解：（1）∵點A、B是二次函數y=mx²+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的圖象與x軸的交點，
∴令y=0，即mx²+（m﹣3）x﹣3=0
解得x₁=﹣1，
又∵點A在點B左側且m＞0
∴點A的坐標為（﹣1，0）
（2）由（1）可知點B的坐標為
∵二次函數的圖象與y軸交于點C
∴點C的坐標為（0，﹣3）
∵∠ABC=45°
∴∴m=1
（3）由（2）得，二次函數解析式為y=x²﹣2x﹣3
依題意并結合圖象可知，一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別為﹣2和2，
由此可得交點坐標為（﹣2，5）和（2，﹣3），將交點坐標分別代入一次函數解析式y=kx+b中，
得解得：∴一次函數解析式為y=﹣2x+1

點評：本題難度較大，主要考查學生對函數性質和圖像特點等知識點的掌握。為中考常見題型，把兩種函數性質綜合分析與運算，學生要牢固掌握各項性質特點，并運用到考試中去。