Question

【題目】已知：在△ABC中，
（1）AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，點E是AB邊上一點，點F在線段CE上，且△CBF≌△EBF（如圖①），求證：CE平分∠ACD；
（2）除去（1）中條件“AC=BC”，其余條件不變（如圖②），上述結論是否成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∠A=∠ABC=45°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∴∠BCD=45°，

∴∠BCD=∠A，

∵△CBF≌△EBF，

∴∠BCF=∠BEF

∵∠BEF是△ACE的外角，

∴∠BEF=∠A+∠ACE，

又∵∠BCF=∠BCD+∠DCE

∴∠A+∠ACE=∠BCD+∠DCE

∴∠ACE=∠DCE

∴CE平分∠ACD

（2）上述結論依然成立，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠A+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°，

∴∠BCD=∠A．

∵△CBF≌△EBF，

∴∠BCF=∠BEF

∵∠BEF是△ACE的外角，

∴∠BEF=∠A+∠ACE，

又∵∠BCF=∠BCD+∠DCE

∴∠A+∠ACE=∠BCD+∠DCE

∴∠ACE=∠DCE

∴CE平分∠ACD

【解析】（1）先證明△CBF≌△EBF，再根據外角的性質，得∠BEF=∠A+∠ACE，即可得出∠ACE=∠DCE，則CE平分∠ACD；（2）假設結論依然成立，由△CBF≌△EBF，得∠BCF=∠BEF，再由外角，得∠BEF=∠A+∠ACE，即可得出CE平分∠ACD．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上才能正確解答此題．