Question

已知：關于x的方程mx²-14x-7=0有兩個實數根x₁，x₂，和關于y的方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0有兩個實數根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4
①用含m的代數式

2

x1+x2

-

6

x1x2

；
②用含n的代數式表示2（2y₁-y₂²）+14，并求n的取值范圍；
③當

2

x1+x2

-

6

x1x2

=2（2y₁-y₂²）+14時，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：①先找出方程mx²-14x-7=0中的a，b及c的值，利用根與系數關系求出兩根之和與兩根之積，代入所求的代數式中化簡可得；
②利用因式分解的方法求出方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0的兩解，根據兩解y₁與y₂的范圍，確定出y₁與y₂的值，代入所求的代數式可用n表示出來，且根據y₁與y₂的范圍列出不等式，可得n的范圍；
③由方程mx²-14x-7=0有解，可得根的判別式大于等于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集可得m的范圍；再由第一問和第二問所表示出式子代入所求的等式中，化簡可得m與n的二次函數關系式，由自變量n的范圍，根據二次函數的圖象可得函數值m的范圍，求出兩個m范圍的公共部分可得滿足題意m的范圍．

解答：解：①∵mx²-14x-7=0，
∴a=m，b=-14，c=-7，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
則

2

x1+x2

-

6

x1x2

=

m

7

+

6m

7

=m；

②∵方程y²-2（n+1）y+n²+2n=0有兩個實數根，則△=4（n+1）²-4（n²+2n）=4＞0，
分解因式得，[y-（n+2）]（y-n）=0，
∴y₁=n，y₂=n+2，
∴2（2y₁-y₂²）+14=2[2n-（n+2）²]+14=-2n²-4n+6，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n＜n+2≤4，
解得：-2≤n≤2；

③∵方程mx²-14x-7=0有兩個實數根，則△=196+28m≥0，
∴m≥-7，且m≠0，（i）
∵x₁+x₂=

14

m

，x₁x₂=-

7

m

，
由①得y₁=n-2，y₂=n，
所以

2

x1+x2

-

6

x1x2

=2（2y₁-y₂²）+14變形為

m

7

+

6m

7

=2[2n-（n+2）²]+14，
化簡得，m=-2n²-4n+6．
畫出m關于n的二次函數圖象，如圖所示：
由二次函數的圖象知，
當-2≤n≤2時，-10≤m≤8，（ii）
由（i）和（ii）得：-7≤m≤8且m≠0．

點評：此題考查了根與系數的關系，解字母系數的一元二次方程，以及二次函數的圖象與性質，學生在利用根與系數關系時，前提必須方程有解（b²-4ac≥0），然后可得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，本題的難點是第三問求m的范圍，方法是根據m與n成二次函數關系，由自變量n的范圍，借助二次函數的圖象，利用數形結合的思想，觀察圖象可得函數值m在自變量n范圍中所對應的最值，進而得到m的范圍．