Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-6，-4）．
（1）畫出直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC，并寫出頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)（點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)為C）；
（2）求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；
（3）截取CE=OF=AD=m，且E，F(xiàn)，D分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFD的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；
（4）在（3）的情況下，四邊形BEFD是否存在鄰邊相等的情況？若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)關(guān)于中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）因?yàn)橐阎狝，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，所以可用待定系數(shù)法求出過此三點(diǎn)拋物線的解析式；
（3）根據(jù)梯形及三角形的面積公式可求出四邊形BEFD的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)樵谔菪蜛OBE中，OA最短為4，故m的取值范圍為0＜m＜4．根據(jù)S與m之間的關(guān)系式可知當(dāng)m=4時，S取最小值．又因?yàn)閙=4時，原函數(shù)是無意義，故不存在m值，使S取得最小值．
（4）此題應(yīng)分四種情況討論：①BE=FE，②FD=DB，③DB=BE，④FE=FD．

解答：解：（1）利用中心對稱性質(zhì)，畫出梯形OABC．（1分）
∵A，B，C三點(diǎn)與M，N，H分別關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）（3分）
（寫錯一個點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分）．

（2）設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點(diǎn)A（0，4），
∴c=4．則拋物線關(guān)系式為
y=ax²+bx+4．（4分）
將B（6，4），C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，
得

36a+6b+4=4 64a+8b+4=0

（5分）
解得

a=- 1 4 b= 3 2

（6分）
所求拋物線關(guān)系式為：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4．（7分）

（3）∵OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．（8分）
∴S_{四邊形EFDB}=S_梯形ABCO-S_△ADF-S_△EOF-S_△BEC
=

1

2

OA（AB+OC）-

1

2

AF•AD-

1

2

OE•OF-

1

2

CE•OA
=

1

2

×4×（6+8）-

1

2

m（4-m）-

1

2

m（8-m）-

1

2

×4m
=m²-8m+28（0＜m＜4）（10分）
∵S=（m-4）²+12．
∴當(dāng)m=4時，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，
∴不存在m值，使S的取得最小值．（12分）

（4）①BE=FE，顯然不成立；
②FD=DB；根據(jù)勾股定理列方程得（4-m）²+m²=（6-m）²，
解得m=-2+2

6

或m=-2-2

6

（負(fù)值舍去）．
③DB=BE；且BE⊥CO時，因?yàn)锽E=4，則DB=4，m=AB-DB=6-4=2．
④FE=FD；
根據(jù)勾股定理列方程得（4-m）²+m²=（6+m）²，
整理得m²-8m-20=0，m=-2或m=10，
經(jīng)檢驗(yàn)均不合題意．
∴當(dāng)m=-2+2

6

時，DB=DF，當(dāng)m=2時，BE=BD．（14分）

點(diǎn)評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，注意某個圖形無法解答時，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．要充分利用圖形特點(diǎn)，為解題提供思路．