Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是 上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DFDB；
（3）在（2）的條件下，延長ED、BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠ABE=90°，

∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，

∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線

（2）證明：∵BD平分∠ABE，

∴∠1=∠2，

而∠2=∠AED，

∴∠AED=∠1，

∵∠FDE=∠EDB，

∴△DFE∽△DEB，

∴DE：DF=DB：DE，

∴DE2=DFDB

（3）解：連結OD，如圖，

∵OD=OB，

∴∠2=∠ODB，

而∠1=∠2，

∴∠ODB=∠1，

∴OD∥BE，

∴△POD∽△PBE，

∴ = ，

∵PA=AO，

∴PA=AO=BO，

∴ = ，即 = ，

∴PD=4．

【解析】（1）利用圓周角定理得到∠AEB=90°，∠EAB=∠BDE，而∠BDE=∠CBE，則∠CBE+∠ABE=90°，則根據切線的判定方法可判斷BC是⊙O的切線；（2）證明△DFE∽△DEB，然后利用相似比可得到結論；’（3）連結DE，先證明OD∥BE，則可判斷△POD∽△PBE，然后利用相似比可得到關于PD的方程，再解方程求出PD即可．本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和切線的判定方法；運用相似三角形的判定和性質解決線段之間的關系．通過相似比得到PD的方程可解決（3）小題．