Question

如圖，已知拋物線C：y=-x²+x+3與x軸交于點A、B兩點，過定點的直線l：y=x-2（a≠0）交x軸于點Q．
（1）求證：不論a取何實數（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個交點；
（2）寫出點A、B的坐標：A（______）、B（______）及點Q的坐標：Q（______）（用含a的代數式表示）；并依點Q坐標的變化確定：當______時（填上a的取值范圍），直線l與拋物線C在第一象限內有交點；
（3）設直線l與拋物線C在第一象限內的交點為P，是否存在這樣的點P，使得∠APB=90°？若存在，求出此時a的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由消去y，得x²-（-1）x-10=0
∵△=（-1）²+40＞0
∴不論a（a≠0）取何實數，方程組有兩組不同的實數解，
故不論a（a≠0）取何實數，
拋物線C與直線l總有兩個交點；

（2）解：A（-2，0），B（3，0），Q（2a，0）（每點坐標，共6分）
（寫成a＞0或a＜只能給1分）；

（3）解：一、設存在滿足條件的點P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，
作PN⊥AB于N，則AN=x₀+2，BN=3-x₀，PN=y₀
∵∠APB=90°，PN⊥AB，則△APN∽△PBN．
∴PN²=AN•BN，
則有y₀²=（x₀+2）（3-x₀）
即y₀²=-x₀²+x₀+6①
∵點P（x₀，y₀）在拋物線C上
∴
即2y₀=-x₀²+x₀+6
由①、②可得y₀²=2y₀（y₀＞0）
∴y₀=2
把y₀=2代入②，得x₀=2或-1，
∴x₀＞0
∴x₀＞2
把x₀=2，y₀=2代入，
得
∴存在滿足條件的P點，此時．
二、設存在滿足條件的點P（x₀，y₀），連PA、PB，使∠APB=90°
在Rt△APB中，斜邊的中點，過點P作PN⊥AB，垂足為N，N的坐標為（x₀，0），連接PM，由Rt△PMN，得MN²+PN²=PM²
∴（x₀-）²+y²=
由
整理，得
③-④得，y₀²=2y₀．
三、設存在滿足條件的點P（x₀，y₀），連PA、PB，使∠APB=90°
過點P作PN⊥AB，垂足為N，根據勾股定理得AP²+PB²=AB²=AN²+NP²+NP²+NB²=25
即（x₀+2）²+y₀²+y₀²+（3-x₀）²=25
整理得x₀²-x₀-6+y₀²=0
解方程組：
得：y₀=0或y₀=2．
所以x=3、-2、，
所以a=（舍去），或a=-1（舍去），a=（負值舍去）．
分析：（1）求證：不論a取何實數（a≠0）拋物線C與直線l總有兩個交點，就是求兩個函數解析式組成的方程組有兩個解，即利用代入法得到一個一元二次方程，可以根據根的判別式得到a的不等式，就可以求a的范圍；
（2）拋物線y=-x²+x+3中令y=0，就可以求出與x軸的交點，得到點A、B兩點的坐標．在直線l：y=x-2（a≠0）中令y=0，解得x=2a，就可以求出Q的坐標；
（3）設存在滿足條件的點P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），連AP、PB，使∠APB=90°，作PN⊥AB于N，易得△APN∽△PBN，得到PN²=AN•BN，就可以得到關于AN，BN的方程，再根據P（x₀，y₀）在函數的圖象上，就可以得到關于AN、BN的方程，解這兩個方程組成的方程組，就可以求出P的坐標．
點評：本題主要考查了利用韋達定理判斷兩個二元二次方程組成的解的個數．并且利用了相似三角形的性質，對應邊的比相等．