Question

【題目】在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，3），過點B作直線l∥x軸，點P（a，3）是直線上的動點，以AP為邊在AP右側作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直線AQ交y軸于點C．

(1)當a=時，求點Q的坐標；

(2)當PA+PO最小時，求a.

Answer 1

【答案】(1)（4.5，3.5）；(2)a=1

【解析】試題分析：（1）要求點Q的坐標，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．從條件“△APQ為等腰直角三角形”出發，構造全等，即可解決問題．

（2）本題要求動點P到兩定點A、O的距離之和AP+OP的最小值，只需找到點O關于直線l的對稱點M，連接AM，AM與直線l的交點即為滿足條件的點P，就可求出a的值．

試題解析：（1）過點P作PE⊥OA，垂足為E，過點Q作QF⊥BP，垂足為F，如圖1，

∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°，

∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF，

在△PEA和△PFQ中， ，∴△PEA≌△PFQ，

∴PE=PF，EA=QF，

∵a=1，∴P（1，3），∴OE=BP=1，PE=3，

∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1，∴PF=3，QF=1，

∴點Q的坐標為（4，4）；

（2）如圖，作點O關于直線l 的對稱點M，連接AM，交直線l于點P，則此時OP+OA的值最小，

由題意易用得點M的坐標為（0，6），

設直線AM的解析式為y=kx+b，

則有 ，解得 ，所以直線AM的解析式為：y=-3x+6，

當y=3時，3=-3x+6，解得x=1，所以點P坐標為（1，3），所以a=1.