Question

已知：如圖，正方形DEFG內接入Rt△ABC，EF在斜邊BC上，EH⊥AB于H．
求證：（1）△ADG≌△HED；（2）EF²=BE•FC．

Answer 1

分析：（1）根據題意，∠A=∠DHE=90°，DG=DE，根據“AAS”只需再證一對角相等即可．
因為∠ADG+∠HDE=90°，∠HDE+∠HED=90°，
所以∠ADG=∠HED．
（2）欲證結論，即證EF：BE=FC：EF．根據正方形邊長相等，轉證DE：BE=FC：FG，即證明△BDE∽△GFC．

解答：證明：（1）∵DEFG為正方形，
∴∠EDG=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EH⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
又∠A=∠EHD=90°，DG=DE，
∴△ADG≌△HED．

（2）在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°．
在Rt△BDE中，∠B+∠2=90°．
∴∠2=∠C．
∴Rt△BDE∽Rt△GCF，
∴DE：FC=BE：GF．
又∵DE=GF=EF，
∴

FC

EF

=

EF

BE

?EF2=BE•FC

點評：此題考查了直角三角形相似的判定和性質，難度中等．證明題常運用分析法尋找突破口．