Question

【題目】如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3．以點 B 為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形 BADC，得到矩形 BEFG，點 A、D、C 的對應(yīng)點分別為 E、F、G．

（1）如圖1，當點 E 落在 CD 邊上時，求線段 CE 的長；

（2）如圖2，當點 E 落在線段 DF 上時，求證：∠ABD＝∠EBD；

（3）在（2）的條件下，CD 與 BE 交于點 H，求線段 DH 的長．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析；（3）DH＝ ．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知BA＝BE＝5，由矩形性質(zhì)知BC＝AD＝3，再在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理可得；

（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BEF＝∠A＝90°，BE＝BA，結(jié)合點E落在線段DF得∠BED＝∠A＝90°，再利用“HL”證△ABD≌△EBD即可得；

（3）設(shè)DH＝x，從而得CH＝5﹣x，再由矩形的性質(zhì)知∠ABD＝∠CDB，結(jié)合∠ABD＝∠EBD知∠CDB＝∠EBD，從而得DH＝BH＝x．在Rt△BCH中，根據(jù)CH2+BC2＝BH2求解可得．

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BA＝BE＝5．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠C＝90°，∴CE4；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠BEF＝∠A＝90°，BE＝BA．

∵點E落在線段DF，∴∠BED＝∠A＝90°．

在△ABD和△EBD中，∵，∴△ABD≌△EBD（HL），∴∠ABD＝∠EBD；

（3）設(shè)DH＝x．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝5，∴CH＝CD﹣DH＝5﹣x，∠ABD＝∠CDB．

又∵∠ABD＝∠EBD，∴∠CDB＝∠EBD，∴DH＝BH＝x．在Rt△BCH中，∵CH2+BC2＝BH2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x，∴DH．