Question

如圖，直角梯形ABCD的腰BC所在直線的解析式為y=-

3

x-6

3

，點A與坐標原點O重合，點D的坐標為（0，-4

3

），將直角梯形ABCD繞點O順時針旋轉180°，得到直角梯形OEFG（如圖1）．
（1）直接寫出E，F兩點的坐標及直角梯形OEFG的腰EF所在直線的解析式；
（2）將圖1中的直角梯形ABCD先沿x軸向右平移到點A與點E重合的位置，再讓直角頂點A緊貼著EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移動時，總保持著AB∥FG），當點A與點F重合時，梯形ABCD停止移動．觀察得知：在梯形ABCD移動過程中，其腰BC始終經過坐標原點O．（如圖2）
①設點A的坐標為（a，b），梯形ABCD與梯形OEFG重合部分的面積為S，試求a與何值時，S的值恰好等于梯形OEFG面積的

5

16

；
②當點A在EF上滑動時，設AD與x軸的交點為M，試問：在y軸上是否存在點P，使得△PAM是底角為30°的等腰三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．（利用圖3進行探索）

Answer 1

分析：（1）根據E（6，0），F（2，4

3

），利用待定系數法可求得EF所在直線的解析式；
（2）根據梯形OEFG的面積為

1

2

（2+6）•4

3

=16

3

，A（a，-

3

a+6

3

)，
由題意得S=(-

3

a+6

3

)•a，
若S的值為5

3

，則可得a²-6a+5=0，所以a₁=1，a₂=5，又a₁=1不合題意，舍去，取a=5，
可求得當a=5時，S的值恰好等于梯形OEFG的面積的

5

16

；
（3）滿足條件的等腰△PAM的頂角應為120°，分下列三種情況考慮：
①當∠PAM為頂角時（如圖1），設AB交y軸于點Q，OM=x，利用Rt△PQA，Rt△POM中的有關角和線段可求得P₁（0，

18

5

3

）；
②當∠PMA為頂角時，畫圖可知合條件的點P₂在y軸的負半軸上，可求P2(0，-

6

5

3

)；
③當∠APM為頂角時（如圖2）過點P₃作P₃N⊥AM于點M，點A與點F重合，即P3(0，2

3

)，所以滿足條件的點P坐標為(0，

18

5

3

)，(0，-

6

5

3

)，(0，2

3

)．

解答：解：（1）E（6，0），F（2，4

3

），EF所在直線的解析式為y=-

3

x+6

3

．

（2）梯形OEFG的面積為

1

2

（2+6）•4

3

=16

3

，
∵點A（a，b）在直線EF上，
∴A（a，-

3

a+6

3

)，
由題意得S=(-

3

a+6

3

)•a，
若S的值為5

3

，則(-

3

a+6

3

)•a=5

3

，
(-

3

a+6

3

)•a=5

3

，
即a²-6a+5=0，∴a₁=1，a₂=5，
又a₁=1不合題意，舍去，取a=5；
∴當a=5時，S的值恰好等于梯形OEFG的面積的

5

16

．

（3）顯然，滿足條件的等腰△PAM的頂角應為120°，分下列三種情況考慮：
①當∠PAM為頂角時（如圖1），設AB交y軸于點Q，OM=x，
∵點A在直線y=-

3

x+6

3

上，∴AM=-

3

x+6

3

，
在Rt△PQA中，∠PAQ=120°-90°=30°，
∴PQ=

1

2

AP=

1

2

AM；
∴OP=OQ+QP=

3

2

AM=

3

2

（-

3

x+6

3

），
在Rt△POM中，∠PMO=90°-30°=60°，
∴OP=OM•tan∠PMO=

3

x；
∴

3

2

（-

3

x+6

3

）=

3

x，x=

18

5

．
②當∠PMA為頂角時，畫圖可知合條件的點P₂在y軸的負半軸上；
Rt△P₂OM中，∠P₂MO=120°-90°=30°，且OM仍為

18

5

；
∴OP2=OM•tan∠P2MO=

18

5

•tan30°=

18

5

•

3

3

=

6

5

3

，
即P2(0，-

6

5

3

)；
③當∠APM為頂角時（如圖2）過點P₃作P₃N⊥AM于點M，
設OM=x，在Rt△P₃OM中，∠P₃MO=90°-30°=60°，
∴OP3=OM•tan∠P3MO=

3

x，
∴AM=2NM=2•OP3=2

3

x，
∴2

3

x=-

3

x+6

3

，x=2，
此時點A的坐標為(2，4

3

)，即點A與點F重合，∴OP3=2

3

，即P3(0，2

3

)，
由①，②，③得，滿足條件的點P坐標為(0，

18

5

3

)，(0，-

6

5

3

)，(0，2

3

)．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．