Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，EM垂直平分AB交AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N垂直平分AC交AC于點(diǎn)N，∠EAF=90°，BC=12，EF=5．

（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求S△EAF ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵EM垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE．
∵FN垂直平分AC，
∴AF=EC
∴∠C=∠CAF．
∵∠B+∠BAE+∠EAF+∠C+∠CAF=180°，∠EAF=90°，
∴2∠BAE+2∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠BAC=∠BEA+∠EAF+∠CAF=45°+90°=135°

（2）解：∵EM垂直平分AB，
∴EB=EA．
∵FN垂直平分AC，
∴FA=FC．
∵BC=12，EF=5，
∴EA+FA=12﹣5=7．
∵EF=5，∠EAF=90°，
∴EA2+FA2=（EA+FA）2﹣2EAFA=EF2=25，
∴ EAFA=6，
∴S△EAF=6
【解析】（1）根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，得出AE=BE、AF=EC，證出∠B=∠BAE．∠C=∠CAF，再在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理及∠EAF=90°，證出∠BAE+∠CAF=45°，從而可求出∠BAC的度數(shù)。
（2）根據(jù)AB、EF的長(zhǎng)求出BE+FC的長(zhǎng)，即可得到EA+FA=7，再根據(jù)勾股定理得出EA2+FA2=EF2=25，兩式結(jié)合求出EAFA的值，再利用三角形的面積公式求出△EAF的面積即可。