Question

【題目】已知O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點（M與點O，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．
（1）當點M在線段OD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的數量及位置關系？請說明理由；
（2）當點M在線段OD的延長線上時（如圖2），（1）中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BM=DF，BM⊥DF．

理由：∵四邊形ABCD、AMEF是正方形，

∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，

∴∠FAM﹣∠DAM=∠DAB﹣∠DAM，

即∠FAD=∠MAB，

∵在△FAD和△MAB中，

，

∴△FAD≌△MAB，

∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，

∵∠ADB=45°，

∴∠FDB=45°+45°=90°，

∴BM⊥DF，

即BM=DF，BM⊥DF

（2）

解：BM=DF，BM⊥DF都成立，

理由是：∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，

∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，

∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，

即∠FAD=∠MAB，

∵在△FAD和△MAB中，

，

∴△FAD≌△MAB，

∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，

由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，

∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，

即BM⊥DF，

∴（1）中的結論仍成立

【解析】（1）根據正方形性質求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可；（2）與（1）類似，根據正方形性質，推出∠FAD=∠MAB，判定△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可．
【考點精析】掌握正方形的性質是解答本題的根本，需要知道正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．