Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，CD是⊙O的弦，AC與BD相交于點P．
（1）判斷△APB與△DPC是否相似？并說明理由；
（2）設∠BPC=α，若sinα是方程5x²+7x-6=0的根，求cosα的值；
（3）在（2）的條件下，求弦CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據圓中弧相等的性質得出∠A=∠D，∠B=∠C，從而得出三角形相似；
（2）解一元二次方程，然后根據三角函數的性質即可得出答案；
（3）根據余弦及三角形相似比例關系即可得出答案．

解答：解：（1）相似．
證明：∵

.

BC

=

.

BC

，
∴∠A=∠D，
∵

.

AD

=

.

AD

，
∴∠B=∠C，
∴△APB∽△DPC；

（2）5x²+7x-6=0，
（5x-3）（x+2）=0，
x1=

3

5

，x2=-2(舍去)，
∴sinα=

3

5

，
cosα=

4

5

；

（3）∵AB為直徑，
∴∠BCP=90°，
∵cosα=

4

5

，
∴

PC

BP

=

4

5

，
∵△APB∽△DPC，
∴

PC

BP

=

CD

AB

，

4

5

=

CD

10

，
∴CD=8．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質、解一元二次方程，三角函數等，把要求的線段的比轉化到一個直角三角形中的兩條直角邊的比，難度適中．