Question

【題目】如圖，AN∥CB，B、N在AC同側，BM、CN交于點D，AC＝BC，且∠A+∠MDN＝180°．

（1）如圖1，當∠NAC＝90°，求證：BM＝CN；

（2）如圖2，當∠NAC為銳角時，試判斷BM與CN關系并證明；

（3）如圖3，在（1）的條件下，且∠MBC＝30°，一動點E在線段BM上運動過程中，連CE，將線段CE繞點C順時針旋轉90°至CF，取BE中點P，連AP、FP．設四邊形APFC面積為S，若AM＝﹣1，MC＝1，在E點運動過程中，請寫出S的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BM＝CN，理由詳見解析；（3）1≤S≤3．

【解析】

（1）先證∠N＝∠CMB，再證∠ACB＝∠A，可推出△ACN≌△CBM，即可得出結論；

（2）如圖2，延長NA至G，使AG＝CM，證△GAC≌△MCB，得到GC＝MB，再證GC＝CN，即可推出結論；

（3）如圖3﹣1，當點E在線段BM上運動至與點M重合時，四邊形APFC的面積最小，過點P分別作AC，BC的垂線，垂足分別為H，Q，求出此時四邊形APFC的面積；當圖3﹣2，當點E在線段BM上運動至與點B重合時，點P也與B，E重合，四邊形APFC的面積最大，此時A，C，F在同一條直線上，即△ABF的面積，求出其面積，即可寫出S的取值范圍．

（1）證明：∵∠NAC＝90°，∠A+∠MDN＝180°，

∴∠NDM＝90°，

∴∠N+∠ACN＝∠ACN+∠CMD＝90°，

∴∠N＝∠CMB，

∵AN∥CB，

∴∠A+∠ACB＝180°，

∴∠ACB＝∠A＝90°，

∵AC＝BC，

∴△ACN≌△CBM（AAS），

∴BM＝CN；

（2）解：BM＝CN，理由如下，

如圖2，延長NA至G，使AG＝CM，

∵AN∥BC，

∴∠GAC＝∠MCB，

又∵AC＝BC，

∴△GAC≌△MCB（SAS），

∴GC＝MB，∠G＝∠BMC，

在四邊形AMDN中，∠NAC+∠MDN＝180°，

∴∠N+∠AMD＝180°，

又∵∠AMD+∠BMC＝180°，

∴∠N＝∠BMC，

∴∠N＝∠G，

∴GC＝CN，

∴BM＝CN；

（3）∵AM＝﹣1，MC＝1，

∴AC＝AM+MC＝，

∴BC＝，

由（1）知，∠ACB＝90°，

又∵在Rt△MCB中，∠MBC＝30°，

∴MC＝BC＝1，

如圖3﹣1，當點E在線段BM上運動至與點M重合時，四邊形APFC的面積最小，

過點P分別作AC，BC的垂線，垂足分別為H，Q，

∵點P是BE的中點，

∴PH＝BC＝，PQ＝MC＝，

∴S四邊形APFC＝S△APC+S△PCF

＝ACPH+CFPQ

＝×××1×

＝1；

當圖3﹣2，當點E在線段BM上運動至與點B重合時，點P也與B，E重合，四邊形APFC的面積最大，

此時A，C，F在同一條直線上，即△ABF的面積，

∵AC＝BC＝CF＝，∠ACB＝∠BCF＝90°，

∴△ABF是等腰直角三角形，

∴S四邊形APFC＝S△ABF

＝×2×

＝3，

故答案為：1≤S≤3．