Question

【題目】如圖，點P為拋物線L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）（其中a為常數，且a＜0）的頂點，L與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線，與L交于點A，過點A作x軸的垂線，與射線OP交于點B，連接OA

（1）a＝﹣2時，點P的坐標是　 　，點B的坐標是　 　；

（2）是否存在a的值，使OA＝OB？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由

（3）若△OAB的外心N的坐標為（p，q），則

①當點N在△OAB內部時，求a的取值范圍；

②用a表示外心N的橫坐標p和縱坐標q，并求p與q的關系式（不寫q的取值范圍）．

Answer 1

【答案】（1）（3，2），（6，4）；（2）不存在，見解析；（3）①﹣＜a＜0；②N橫坐標p＝ a2+3，N縱坐標q＝3a ；p＝q2+3

【解析】

（1）按照題意逐步計算：先把a＝﹣2代入拋物線求出頂點P及與y軸交點C的坐標，得到直線OP解析式．由AC∥x軸可知A、C關于拋物線對稱軸對稱，進而求出點A．由AB⊥x軸可得B的橫坐標與A相同，再代回直線OP即求得B的縱坐標．

（2）按照（1）的解題思路，先用a表示點P、C，然后得到點A坐標，即得到點B橫坐標，再代回直線OP求得點B坐標．由于點A、B到x軸距離不相等，x軸不能垂直平分AB，故不存在a使OA＝OB．

（3）①銳角三角形的外心會落在三角形內部，而∠OAB與∠OBA一定小于90°，則∠AOB<90°，可得OA2+OB2>AB2，把含a的式子代入即得到關于a的不等式，結合a<0得到a的取值范圍；

②外心N為△OAB三邊垂直平分線交點，由AB⊥x軸即可得點N縱坐標q＝3a，由ON＝AN列得關于a、p的等式，整理即得到用a表示p．再把a＝q代入即得到p關于q的關系式．

解：（1）∵a＝﹣2

∴拋物線L：y＝﹣2（x﹣2）（x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2

∴頂點P（3，2），C（0，﹣16）

∴直線OP解析式為：y＝x

∵AC∥x軸

∴yA＝yC＝﹣16，A、C關于直線x＝3對稱

∴A（6，﹣16）

∵AB⊥x軸

∴xB＝xA＝6

∴yB＝×6＝4，即B（6，4）

故答案為：（3，2）；（6，4）．

（2）不存在a的值使OA＝OB，理由如下：

∵拋物線L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）＝ax2﹣6ax+8a＝a（x﹣3）2﹣a

∴頂點P（3，﹣a），C（0，8a）

∴直線OP解析式為：y＝﹣x

∴A（6，8a）

∴yB＝﹣×6＝﹣2a

∵a≠0

∴|yA|≠yB，即x軸不平分AB

∴OA≠OB

（3）①∵△OAB的外心N在其內部

∴△OAB是銳角三角形

∴∠AOB<90°

∴OA2+OB2>AB2

∵A（6，8a），B（6，﹣2a）

∴62+（8a）2+62+（﹣2a）2>（8a+2a）2

解得：﹣<a<0

②∵外心N在AB的垂直平分線上，AB⊥x軸

∴q＝＝3a

∴N（p，3a），a＝

∵ON＝AN，即ON2＝AN2

∴p2+（3a）2＝（6﹣p）2+（8a﹣3a）2

整理得：p＝a2+3

把a＝代入得：p＝q2+3．