Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+6x+c（a≠0）交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式及定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱軸與⊙C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5，

∵y=﹣（x﹣3）2+4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；

（2）

解：拋物線的對(duì)稱軸與⊙C相離．理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+6x﹣5=0，解得x1=1，x2=5，則C（5，0），

∴BC=4，

在Rt△OAB中，AB= = ，

作CE⊥BD于E點(diǎn)，如圖1，

∵AB⊥BD，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

而∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠CBE，

∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCE，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ，

∵⊙C與BD相切，

∴⊙C的半徑為 ，

∵點(diǎn)C到對(duì)稱軸x=3的距離為2，

而2＞ ，

∴拋物線的對(duì)稱軸與⊙C相離；

（3）

解：存在．

（I）當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，如圖3，CP交y軸于Q，

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OCA=45°；

∵PC⊥AC，

∴∠PCO=45°，

∴△OCQ為等腰直角三角形，

∴OQ=OC=5，

∴Q（0，5），

易得直線CQ的解析式為y=﹣x+5，

解方程組 得 或 ，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3）；

（II）當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，

∵A（0，﹣5），C（5，0），

∴△AOC為等腰直角三角形，∠OAC=45°；

∵PA⊥AC，

∴∠PAF=45°，即△PAF為等腰直角三角形．

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，﹣t2+6t﹣5），

∵AF=PF，

∴﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t解得t=0或t=7，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（7，﹣12），

綜上所述，存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，﹣12）．

【解析】（1）把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得關(guān)于a、c的方程組，然后解方程組即可，再把解析式配成頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先解方程﹣x2+6x﹣5=0得C（5，0），則BC=4，再利用勾股定理計(jì)算出AB= ，作CE⊥BD于E點(diǎn)，如圖1，證明Rt△ABO∽R(shí)t△BCE，利用相似比可計(jì)算出CE= ，則根據(jù)切線的性質(zhì)得⊙C的半徑為 ，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法判斷拋物線的對(duì)稱軸與⊙C的位置關(guān)系；（3）討論：當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，如圖3，CP交y軸于Q，利用△AOC為等腰直角三角形可得到△OCQ為等腰直角三角形，則直線CQ的解析式為y=﹣x+5，于是解方程組 得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，利用△AOC為等腰直角三角形得到△PAF為等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，﹣t2+6t﹣5），則﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t，然后解方程求出t即可得到此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．