Question

（2013•南京二模）如圖，點A₁、A₂、A₃、A₄、A₅在⊙O上，且

A1A2

=

A2A3

=

A3A4

=

A4A5

=

A5A1

，B、C分別是A₁A₂、A₂A₃上兩點，A₁B=A₂C，A₅B與A₁C相交于點D，則∠A₅DC的度數為

108°

．

Answer 1

分析：首先證明△A₁A₅B≌△A₂A₁C，然后依據全等三角形的對應角相等以及三角形的外角的性質，即可證得∠A₅DC=∠A₅A₁A₂從而求解．

解答：解：∵

A1A2

=

A2A3

=

A3A4

=

A4A5

=

A5A1

，
∴每段弧的度數是：

360

5

=72°，
則

A5A1A2

的度數是：3×72=216°，
∴∠A₅A₁A₂=108°．
∵在△A₁A₅B和△A₂A₁C中，

A1A5=A1A2 ∠A5A1B=∠A1A2C A1B=A2C

，
∴△A₁A₅B≌△A₂A₁C（SAS），
∴∠A₁A₅B=∠A₂A₁C，
∴∠A₅DC=∠A₁A₅D+∠A₅A₁D=∠A₅A₁D+∠A₂A₁C=∠A₅A₁A₂=108°．
故答案是：108°．

點評：本題考查了弧、弦、圓心角的關系，以及全等三角形的判定與性質，正確證明∠A₅DC=∠A₅A₁A₂是關鍵．