Question

【題目】如圖，在矩形中，，將矩形對折，得到折痕;沿著折疊,點的對應點為與的交點為;再沿著折疊，使得與重合，折痕為，此時點的對應點為.下列結論:①是直角三角形:②點在同一條直線上;③;④;⑤點是的外心，其中正確的個數為（ ）

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據折疊的性質得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形，故①正確；根據平角的定義得到點C、E、G在同一條直線上，故②正確；AB＝1，則AD＝2，得到DM＝AD＝，根據勾股定理得到CM＝＝，根據射影定理得到CP＝＝，得到PC＝MP，故③正確；求得PB＝AB=，，故④正確；根據平行線等分線段定理得到CF＝PF，求得點F是△CMP外接圓的圓心，故⑤正確．

∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠DMC＝∠EMC，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠AMP＝∠EMP，

∵∠AMD＝180°，

∴∠PME＋∠CME＝×180°＝90°，

∴△CMP是直角三角形；故①正確；

∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠D＝∠MEC＝90°，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠MEG＝∠A＝90°，

∴∠GEC＝180°，

∴點C、E、G在同一條直線上，故②正確；

∵AD＝2AB，

∵AB＝1，則AD＝2，

∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN；

∴DM＝AD＝

∴CM＝＝，

∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，

∴CM2＝CNCP，

∴CP＝＝，

∴PN＝CPCN＝

∴PM＝=

∴，

∴PC＝MP，故③正確；

∵PC＝AB=，

∴PB＝-=

∴，故④正確，

∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，

∴CE＝EG，

∵∠CEM＝∠G＝90°，

∴FE∥PG，

∴CF＝PF，

∵∠PMC＝90°，

∴CF＝PF＝MF，

∴點F是△CMP外接圓的圓心，故⑤正確；

故選：D．