Question

在實施漓江補水工程中，某水庫需要將一段護坡土壩進行改造．在施工質量相同的情況下，甲、乙兩施工隊給出的報價分別是：甲施工隊先收啟動資金1000元，以后每填土1立方米收費20元，乙施工隊不收啟動資金，但每填土1立方米收費25元．
（1）設整個工程需要填土為X立方米，選擇甲施工隊所收的費用為Y_甲元，選擇乙施工隊所收的費用為Y_乙元．請分別寫出Y_甲、Y_乙、關于X的函數關系式；
（2）如圖，土壩的橫截面為梯形，現將背水坡壩底加寬2米，即BE=2米，已知原背水坡長AB=4，土壩與地面的傾角∠ABC=60度，要改造100米長的護坡土壩，選擇哪家施工隊所需費用較少？
（3）如果整個工程所需土方的總量X立方米的取值范圍是100≤X≤800，應選擇哪家施工隊所需費用較少？

Answer 1

解：（1）由題意，y_甲=1000+20x，y_乙=25x；

（2）如圖，過A作AF⊥BC于F，
∵∠ABC=60°，AB=4，
∴AF=6，
∴S_△ABE=BE•AF=6，
∴100米長的護坡土壩的土方的總量為6×100=600，
當x=600時，y_甲=13000；y_乙=15000，
∴選擇甲施工隊所需費用較少；

（3）①當y_甲=y_乙，則1000+20x=25x，
∴x=200，
②當x＞200時，y_甲＜y_乙；
③當0＜x＜200時，y_甲＞y_乙．
∴當100＜x＜200時，選擇乙工程隊；
當x＞200時，選擇甲工程隊；
當x=200時，甲乙一樣．
分析：（1）容易知道所求的函數關系是一次函數，所以函數關系式比較好求；
（2）首先過A作AF⊥BC于F，然后解直角三角形求出AF，這樣可以求出△ABE的面積，在計算它的體積，就知道所需土方的總量，然后選擇施工隊；
（3）根據（1）的函數關系式可以直接確定選擇哪家施工隊合算．
點評：此題既考查了待定系數法確定一次函數的解析式，也考查了解直角三角形和三角形的面積的計算，同時還考查了利用一次函數解決實際問題．