Question

【題目】如圖，等邊外有一點，連接，，.

圖1 圖2 圖3

（1）如圖1，若，求證：平分；

（2）如圖2，若，求證：；

（3）如圖3，延長交的延長線于點，以為邊向下作等邊，若點，，在同一直線上，且，直接寫出的度數為___________（結果用含的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）過點作于點，于點，證明，即可證明；

（2）在上取點，使，得到為等邊三角形，再證明，得到，即可證明；

（3）先根據等邊三角形的性質證明△ABF≌CBE，得到∠1=∠2，再得到，由（1）得,再得到F,E,B,D四點共圓，得到∠3=∠DBF即可求解.

（1）過點作于點，于點，

∵

又

∴

又BC=BA

∴（AAS）

，

平分；

（2）在上取點，使，

∵

為等邊三角形，

∴∠DCE=∠ACB=60°，

∵∠DCE-∠ACE =∠ACB-∠ACE

∴∠DCA=∠ECB

又DC=EC,AC=BC

∴，

，

∴BD-CD=BD-DE=BE=AD

；

（3）如圖，∵△ABC，△BEF為等邊三角形，

∴AB=CB,BF=BE,∠ABF=∠CBE

∴△ABF≌CBE，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=60°，∠4=60°

∴∠FDE=180°-∠1-∠4-∠3=60°

∴∠ADC=120°，

∴，

由（1）得平分

∴,

∴∠FDB=120°，

∴∠FDB+∠FEB=180°，

∴F,E,B,D四點共圓，

∴∠3=∠DBF

∵∠DBF=60°-

∴∠3=.

故答案為.