Question

△ABC中，∠A=90°，∠A的平分線AD交BC于D，DB=3，DC=4，則△ABC內切圓的直徑是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得出四邊形DEAF是矩形，推出AE=ED，得出四邊形DEAF是正方形，推出DE=AE=AF=DF，設DE=AE=AF=DF=a，根據△BED∽△DFC，求出BE=a，CF=a，在Rt△BAC中，由勾股定理得出（a+a）²+（a+a）²=（3+4）²，求出a=，求出AB=，AC=，設直角三角形ABC的內切圓的半徑是R，根據S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，得出×=R+R+7R，求出R即可．
解答：
解：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠DFA=90°，
∴四邊形DEAF是矩形，
∴DE∥AC，DE=AF，
∠EDA=∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=ED，
即四邊形DEAF是正方形，
∴DE=AE=AF=DF，
設DE=AE=AF=DF=a，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∵∠BED=∠DFC=90°，
∴△BED∽△DFC，
∴==，
∴==，
∴BE=a，CF=a，
在Rt△BAC中，由勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
即（a+a）²+（a+a）²=（3+4）²，
a=，
則AB=，AC=，
設直角三角形ABC的內切圓的半徑是R，
∵S_△ABC=S_△AOC+S_△ABO+S_△BCO，
∴AC×AB=AC×R+BC×R+AB×R，
∴×=R+R+7R，
R=，
即直角三角形ABC的內切圓的直徑是，
故選B．
點評：本題考查了矩形的判定和性質，正方形的判定和性質，相似三角形的性質和判定，三角形的內切圓，三角形的面積，勾股定理等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．