Question

【題目】如圖平面直角坐標系中，點，在軸上，，點在軸上方，，，線段交軸于點，，連接，平分，過點作交于．

（1）點的坐標為 ．

（2）將沿線段向右平移得，當點與重合時停止運動，記與的重疊部分面積為，點為線段上一動點，當時，求的最小值；

（3）當移動到點與重合時，將繞點旋轉一周，旋轉過程中，直線分別與直線、直線交于點、點，作點關于直線的對稱點，連接、、．當為直角三角形時，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）C（3，3）；（2）最小值為2+2；（3）D0H的值為2-2或2+2或4-4或4+4．

【解析】

（1）想辦法求出A，D，B的坐標，求出直線AC，BC的解析式，構建方程組即可解決問題．
（2）如圖2中，設BD交O′D′于G，交A′D′于F．作PH⊥OB于H．利用三角形的面積公式求出點D坐標，再證明PH=PB，把問題轉化為垂線段最短即可解決問題．
（3）在旋轉過程中，符號條件的△GD0H有8種情形，分別畫出圖形一一求解即可．

（1）如圖1中，

在Rt△AOD中，∵∠AOD=90°，∠OAD=30°，OD=2，
∴OA=OD=6，∠ADO=60°，
∴∠ODC=120°，
∵BD平分∠ODC，
∴∠ODB=∠ODC=60°，
∴∠DBO=∠DAO=30°，
∴DA=DB=4，OA=OB=6，
∴A（-6，0），D（0，2），B（6，0），
∴直線AC的解析式為y=x+2，
∵AC⊥BC，
∴直線BC的解析式為y=-x+6，
由 ，解得，
∴C（3，3）．
（2）如圖2中，設BD交O′D′于G，交A′D′于F．作PH⊥OB于H．

∵∠FD′G=∠D′GF=60°，
∴△D′FG是等邊三角形，
∵S△D′FG= ，
∴D′G= ，
∴DD′=GD′=2，
∴D′（2，2），
∵C（3，3），
∴CD′==2，
在Rt△PHB中，∵∠PHB=90°，∠PBH=30°，
∴PH=PB，
∴CD'+D'P+PB=2+D′P+PH≤2+D′O′=2+2，
∴CD'+D'P+PB的最小值為2+2．
（3）如圖3-1中，當D0H⊥GH時，連接ED0．

∵ED=ED0，EG=EG．DG=D0G，
∴△EDG≌△ED0G（SSS），
∴∠EDG=∠ED0G=30°，∠DEG=∠D0EG，
∵∠DEB=120°，∠A′EO′=60°，
∴∠DEG+∠BEO′=60°，
∵∠D0EG+∠D0EO′=60°，
∴∠D0EO′=∠BEO′，
∵ED0=EB，E=EH，
∴△EO′D0≌△EO′B（SAS），
∴∠ED0H=∠EBH=30°，HD0=HB，
∴∠CD0H=60°，
∵∠D0HG=90°，
∴∠D0GH=30°，設HD0=BH=x，則DG=GD0=2x，GH=x，
∵DB=4，
∴2x+x+x=4，
∴x=2-2．
如圖3-2中，當∠D0GH=90°時，同法可證∠D0HG=30°，易證四邊形DED0H是等腰梯形，

∵DE=ED0=DH=4，可得D0H=4+2×4×cos30°=4+4．
如圖3-3中，當D0H⊥GH時，同法可證：∠D0GH=30°，

在△EHD0中，由∠D0HE=45°，∠HD0E=30°，ED0=4，可得D0H=4× ，
如圖3-4中，當DG⊥GH時，同法可得∠D0HG=30°，

設DG=GD0=x，則HD0=BH=2x，GH=x，
∴3x+x=4，
∴x=2-2，
∴D0H=2x=4-4．
如圖3-5中，當D0H⊥GH時，同法可得D0H=2-2．

如圖3-6中，當DGG⊥GH時，同法可得D0H=4+4．

如圖3-7中，如圖當D0H⊥HG時，同法可得D0H=2+2．

如圖3-8中，當D0G⊥GH時，同法可得HD0=4-4．

綜上所述，滿足條件的D0H的值為2-2或2+2或4-4或4+4．