Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（﹣1，0），點B（0，2），點C（3，0），直線a為過點D（0，﹣1）且平行于x軸的直線．
（1）直接寫出點B關于直線a對稱的點E的坐標；
（2）若P為直線a上一動點，請求出△PBA周長的最小值和此時P點坐標；
（3）若M為直線a上一動點，且S△ABC=S△MAB ， 請求出M點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（0，﹣4）
（2）解：∵B、E關于直線a對稱，

∴PB=PE，

∴△PBA周長=AB+BP+PA

=AB+PE+PA

∵兩點之間線段最段，

∴△PBA周長的最小值=AB+AE= ，

∴直線AE的解析式：y=﹣4x﹣4，

當y=﹣1時，x= ，

∴P點坐標（ ，﹣1）

（3）解：設M（m，﹣1），

當M在第四象限，

∵S△ABC=S△MAB，

∴點M在過C且平行于AB的直線上，

∵直線AB的解析式為：y=2x+2，

設直線CM的解析式為：y=2x+n，

∴0=2×3+n，

∴n=﹣6，

∴直線CM的解析式為：y=2x﹣6，

∴m= ，

∴M（ ，﹣1），

當M在第三象限，

直線AB與直線a交于G（﹣ ，﹣1），

∴ ×（﹣ ﹣m）×（2+1）﹣ ×（﹣ ﹣m）×1= ×4×2，

∴m=﹣5.5，

∴M（﹣5.5，﹣1）．

【解析】解：（1）∵B（0，2），D（0，﹣1）， ∴BD=3，
∵直線a為過點D（0，﹣1）且平行于x軸的直線．
∴BD⊥直線a，
∴點B關于直線a對稱的點E的坐標（0，﹣4）；
所以答案是：（0，﹣4）；

【考點精析】利用軸對稱-最短路線問題對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．