Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣1（a＞0）與直線y＝kx+3交于MN兩點，在y軸負半軸上存在一定點P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關于y軸對稱，則點P的坐標是_____

Answer 1

【答案】(0,-5)

【解析】

根據題意設M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t），然后根據拋物線與直線的交點得出一元二次方程，然后由根與系數的關系求得xM+xN＝，xM×xN＝﹣，再由相似三角形的判定和性質求得t，繼而求得點P的坐標.

如圖作MB⊥y軸，NA⊥y軸

∵M，N是直線y＝kx+3的點

∴設M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t）

∵拋物線y＝ax2﹣1（a＞0）與直線y＝kx+3交于MN兩點

∴ax2﹣1＝kx+3

ax2﹣kx﹣4＝0

∴xM+xN＝，xM×xN＝﹣，

∵直線PM與PN總是關于y軸對稱

∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°

∴△MBP∽△NAP，

∴即 ，

∴（﹣xM﹣xN）（3﹣t）＝2kxMxN

∴﹣（3﹣t）＝2k×（-），

∴t＝﹣5

∴P（0，﹣5）.

故答案為（0，﹣5）