Question

【題目】如圖：對稱軸x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0），且點（2，5）在拋物線y=ax2+bx+c上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點C為拋物線與y軸的交點．

①點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC，求點P點坐標．

②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；

（2）①點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）；

②當x=﹣時，QD有最大值．

【解析】試題分析：（1）因為拋物線的對稱軸為x=-1，A點坐標為（-3，0）與（2，5）在拋物線上，代入拋物線的解析式，即可解答；（2）①先由二次函數的解析式為y=x2+2x-3，得到C點坐標，然后設P點坐標為（x，x2+2x-3），根據S△POC=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；②先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=-x-3，再設Q點坐標為（x，-x-3），則D點坐標為（x，x2+2x-3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值．

試題解析：（1）因為拋物線的對稱軸為x=﹣1，A點坐標為（﹣3，0）與（2，5）在拋物線上，則：

，

解得： ．

所以拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3．

（2）①二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），OC=3．

設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴×3×|x|=4××3×1，

∴|x|=4，x=±4．當x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

當x=﹣4時，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）；

②設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得，

解得： ．

即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．

設Q點坐標為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點坐標為（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣，

∴當x=﹣時，QD有最大值．