Question

【題目】二次函數y= (x-h)2+k的頂點在x軸上，其對稱軸與直線y=x交于點A（1，1），點P是拋物線上一點，以P為圓心，PA長為半徑畫圓，⊙P交x軸于B、C兩點．

⑴h= ,k= ；

⑵①當點P在頂點時，BC= ；

②BC的值是否隨P點橫坐標的變化而變化？如果變化，請說明理由，如果不變化，請求出這個值．

Answer 1

【答案】（1）1，0；（2）①2；②BC的值不隨P點橫坐標的變化而變化，．

【解析】

（1）分別求出二次函數的對稱軸、頂點的縱坐標即可得；

（2）①根據題（1）可得二次函數的解析式，從而可得頂點坐標，再根據當點P在頂點時，BC恰好為圓P的直徑即可得；

②先依據題意畫出圖形，如圖（見解析），先根據垂徑定理得出，再根據點的坐標、兩點之間的距離公式分別求出、的值，然后利用勾股定理求出，從而可得，即可得出答案．

（1）由題意得：此二次函數的對稱軸為，頂點的縱坐標為0

則，

故答案為：1，0；

（2）①由（1）可知，此二次函數的解析式為，其頂點坐標為

當點P在頂點時，半徑

此時，BC恰好為圓P的直徑，即

故答案為：2；

②BC的值不隨P點橫坐標的變化而變化，求解過程如下：

如圖，過點P作軸于點D，連接PA、PB，則

由垂徑定理得：

設點P的坐標為，則

由兩點之間的公式得：

在中，

即

解得或（不符題意，舍去）

故BC的值不隨P點橫坐標的變化而變化，．