Question

（2013年四川資陽(yáng)11分）在一個(gè)邊長(zhǎng)為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；
（2）如圖2，假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）；
①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說(shuō)明理由．
②連結(jié)FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)寫(xiě)出a，t之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，∴∠ADF=∠DCN。
在△ADF與△DNC中，∵，
∴△ADF≌△DNC（ASA）。∴DF=MN。
（2）①該命題是真命題。理由如下：
當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF=AB=CD。
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴。∴AE=EC，則AE=AC=a。∴。
∴CM=1•t=a=CD。
∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)
②能。理由如下：
易證AFE∽△CDE，∴，即，得。
易證△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t。
∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t。
若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：
（I）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，
∴AF=DM，即=t，得t=0，不合題意。∴此種情形不存在。
（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合。
（III）若FM=MN，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如圖所示，

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t。
又由△NDM∽△DCF，∴，即
∴。
∴=a﹣t。
∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合。
綜上所述，當(dāng)t=a或t=a時(shí)，△MNF能夠成為等腰三角形。

（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN。
（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時(shí)間t=a，進(jìn)而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題。
②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論。