Question

如圖，Rt△AOB中，∠A=90°，以O為坐標原點建立直角坐標系，使點A在x軸正半軸上，OA=2，AB=8，點C為AB邊的中點，拋物線的頂點是原點O，且經過C點．
（1）填空：直線OC的解析式為______；拋物線的解析式為______；
（2）現將該拋物線沿著線段OC移動，使其頂點M始終在線段OC上（包括端點O、C），拋物線與y軸的交點為D，與AB邊的交點為E；
①是否存在這樣的點D，使四邊形BDOC為平行四邊形？如存在，求出此時拋物線的解析式；如不存在，說明理由；
②設△BOE的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

（1）∵OA=2，AB=8，點C為AB邊的中點
∴點C的坐標為（2，4）點，
設直線的解析式為y=kx
則4=2k，解得k=2
∴直線的解析式為y=2x，
設拋物線的解析式為y=kx²
則4=4k，解得k=1
∴拋物線的解析式為y=x²

（2）設移動后拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m
當OD=BC，四邊形BDOC為平行四邊形，
∴OD=BC=4，
①則可得x=0時y=4，
∴m²+2m=4，
∴（m+1）²=5
解得m=-1+

5

，m=-1-

5

（舍去），
所以m=-1+

5

y=(x+1-

5

)2+2×（-1+

5

）
=(x+1-

5

)2-2+2

5

，
②∵BE=8-[（2-m）²+2m]
=4+2m-m²
∴S_△BOE=

1

2

BE•OA
=

1

2

（4+2m-m²）×2
=-m²+2m+4
=-（m-1）²+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．