Question

（2006•鹽城）已知：AB為⊙O的直徑，P為AB弧的中點．
（1）若⊙O′與⊙O外切于點P（見圖甲），AP、BP的延長線分別交⊙O′于點C、D，連接CD，則△PCD是______三角形；
（2）若⊙O′與⊙O相交于點P、Q（見圖乙），連接AQ、BQ并延長分別交⊙O′于點E、F，請選擇下列兩個問題中的一個作答：
問題一：判斷△PEF的形狀，并證明你的結論；
問題二：判斷線段AE與BF的關系，并證明你的結論．
我選擇問題______，結論：______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角以及等弧對等弦進行證明；
（2）根據直徑所對的圓周角是直角得到∠AQB=90°，根據對頂角相等得到∠EQF=90°．再根據90°的圓周角所對的弦是直徑，得到EF是直徑．從而得到∠EPF=90°；根據（1）中的結論，連接AP、BP．可證△APE≌△BPF，即證AE=BF．
解答：解：（1）△PCD是等腰直角三角形．
連接OO'，則OO'過點P；
∵AB為⊙O的直徑，P為AB弧的中點，
∴∠APB=90°，AP=BP，
∴∠DPC=90°，∠A=45°，
又∵AO=BO，
∴∠APO=45°，
∴∠CPO'=45°，
∵CD是直徑，
∴O'P=O'C，
∴∠C=∠O'PC=45°，
同理可得∠D=45°，
∴∠C=∠D，
∴CP=DP，
∴△PCD是等腰直角三角形；

（2）選擇問題一，△PEF是等腰直角三角形．
證明：連接PA、PB，
∵AB是直徑，
∴∠AQB=∠EQF=90°，
∴EF是⊙O′的直徑，
∴∠EPF=90°，
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE，∠APE=90°+∠EPB=∠BPF，
∴△APE≌△BPF，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰直角三角形；
選擇問題二，AE=BF．
證明：連接PA、PB，
根據（1）的結論，
在△APE和△BPF中：
∵PA=PB，∠PBF=∠PAE，∠APE=90°+∠EPB=∠BPF，
∴△APE≌△BPF，
∴AE=BF．
∵AB、EF分別是直徑，
∴∠AQB=∠EQF．
及AE垂直且相等與BF．
點評：熟練運用圓周角定理的推論和等弧對等弦的性質，能夠構造全等三角形．