Question

【題目】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判斷△ABC的形狀： ；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等邊三角形；（2）CP=BP+AP．

【解析】

試題分析：（1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；

（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得．

證明：（1）△ABC是等邊三角形．

證明如下：在⊙O中，

∵∠BAC與∠CPB是對的圓周角，∠ABC與∠APC是所對的圓周角，

∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，

又∵∠APC=∠CPB=60°，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴△ABC為等邊三角形；

故答案為：△ABC是等邊三角形；

（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，

又∵∠APC=60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．

又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，

∴∠ADC=∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP=CD，

又∵PD=AP，

∴CP=BP+AP．