Question

【題目】一個能被11整除的自然數稱為“一心一意數”，它的特征是去掉個位數字后，得到一個新數，新數減去原數的個位數字的差能被11整除，若所得差仍然較大不易判斷，則可以再把差去掉個位數字，繼續進行下去，直到容易判斷為此，如：42581去掉個位是4258，4258減去1的差是4257，4257去掉個位后是425，425減去7的差是418，418去掉個位8后是41，41減去8的差是33，顯然33能被11整除，所以42581是“一心一意數”．

（1）請用上述規律判斷2018和20180116是否是“一心一意數”；

（2）一個能被66整除的自然數稱為“祥和數”，已知一個四位“祥和數”（千位數字是a，十位數字是b，百位數字和個位數字都是c，0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），求的值．

Answer 1

【答案】（1）2018不是“一心一意數”；20180116是“一心一意數”；（2）=

【解析】

（1）根據題目的新概念代入，即可求．

（2）根據能被11整除的正整數特征被11整除的數的特征是奇位數之和與偶位上的數之和的差能被11整除，可得二元一次方程，可求解的值．

（1）2018去掉個位是201，208減去8的差是200，200去掉個位后是20，20減去0的差是20，20顯然不能被11整除，所以2018不是“一心一意數”；

　20180116去掉個位是2018011，2018011減去6的差是2018005，2018005去掉個位后是201800，201800減去5的差是201795，201795去掉個位5后是20179，20179減去5的差是20174，20174去掉個位是2017，2017減去4的差是2013，2013去掉個位后是201，201減去3的差是198，顯然198能被11整除，所以20180116是“一心一意數”；

（2）∵是祥和數，∴是66的倍數，即也是2的倍數，也是11的倍數，∴c是偶數．

∵能被11整除的正整數特征被11整除的數的特征是奇位數之和與偶位上的數之和的差能被11整除，∴a+b﹣2c=11k且0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，∴a+b﹣2c=11，0≤a+b≤18，∴c=2，則a+b=15，∴=．