Question

【題目】如圖，已知點D在反比例函數y=的圖象上，過點D作x軸的平行線交y軸于點B（0，3），過點A（5，0）的直線y=kx+b與y軸于點C，且BD=OC，tan∠OAC=．

（1）求反比例函數y=和直線y=kx+b的解析式；

（2）連接CD，試判斷線段AC與線段CD的關系，并說明理由；

（3）點E為x軸上點A右側的一點，且AE=OC，連接BE交直線CA于點M，求∠BMC的度數．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣，y=x﹣2；（2）AC=CD, AC⊥CD，理由見解析；（3）45°.

【解析】分析：（1）由A點坐標可求得OA的長，再利用三角函數的定義可求得OC的長，可求得C、D點坐標，再利用待定系數法可求得直線AC的解析式；

（2）由條件可證明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可證得AC⊥CD；（3）連接AD，可證得四邊形AEBD為平行四邊形，可得出△ACD為等腰直角三角形，則可求得答案．

本題解析：

（1）∵A（5，0），∴OA=5．∵tan∠OAC=，∴，解得OC=2，

∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x軸，∴D（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，∴y=﹣，

設直線AC關系式為y=kx+b，∵過A（5，0），C（0，﹣2），

∴，解得，∴y=x﹣2；

（2）∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，

在△OAC和△BCD中

,∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，

∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD；

（3）∠BMC=45°．

如圖，連接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x軸，

∴四邊形AEBD為平行四邊形，

∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，

∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，

∵AC⊥CD，∴△ACD為等腰直角三角形，

∴∠BMC=∠DAC=45°．