Question

【題目】(2014四川資陽)如圖①，已知直線l1∥l2，線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點C，且AB＝BC，P是線段BC上異于兩端點的一點，過點P的直線分別交l2，l1于點D，E(點A，E位于點B的兩側，滿足BP＝BE，連接AP，CE．

(1)求證：△ABP≌△CBE．

(2)連接AD、BD，BD與AP相交于點F，如圖②．

①當時，求證：AP⊥BD；

②當(n＞1)時，設△PAD的面積為S1，△PCE的面積為S2，求的值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

(1)證明：BC⊥直線l1，

∴∠ABP＝∠CBE．

在△ABP和△CBE中，

(2)①證明：如圖，延長AP交CE于點H．

∵△ABP≌△CBE，

∴∠PAB＝∠ECB，

∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，

∴∠AHE＝90°，

∴AP⊥CE．

∵，即P為BC的中點，直線l1∥直線l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴，

∴DP＝EP．

∴四邊形BDCE是平行四邊形，∴CE∥BD．

∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．

②解：∵，∴BC＝nBP，

∴CP＝(n－1)BP．

∵CD∥BE，

∴△CPD∽△BPE，

∴．

令S△BPE＝S，則S2＝(n－1)S，

S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．

∵，

∴S1＝(n＋1)(n－1)S，

∴．