Question

如圖所示，已知：矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過點O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點E、F．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AECF是菱形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；
（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．根據已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當EF⊥AC，可根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴OB=OD（矩形的對角線互相平分）
AE∥CF（矩形的對邊平行）
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF
∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）
又∵△BOE≌△DOF
∴OE=OF
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．
點評：本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質和菱形的判定．解答此題的關鍵是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定與性質定理．