Question

【題目】如圖，AB是定長(zhǎng)線段，圓心O是AB的中點(diǎn)，AE、BF為切線，E、F為切點(diǎn)，滿(mǎn)足AE=BF，在上取動(dòng)點(diǎn)G，國(guó)點(diǎn)G作切線交AE、BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、C，當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=y，BC=x，則y與x所滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為（　　）

A. 正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0，x＞0）

B. 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，kb≠0，x＞0）

C. 反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0，x＞0）

D. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，x＞0）

Answer 1

【答案】C

【解析】

延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)Q，連接OE，OF，OD，OC，OQ，由AE與BF為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到AE與EO垂直，BF與OF垂直，由AE=BF，OE=OF，利用HL得到直角三角形AOE與直角BOF全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠A=∠B，利用等角對(duì)等邊可得出三角形QAB為等腰三角形，由O為底邊AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到QO垂直于AB，得到一對(duì)直角相等，再由∠FQO與∠OQB為公共角，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形FQO與三角形OQB相似，同理得到三角形EQO與三角形OAQ相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠QOE=∠QOF=∠A=∠B，再由切線長(zhǎng)定理得到OD與OC分別為∠EOG與∠FOG的平分線，得到∠DOC為∠EOF的一半，即∠DOC=∠A=∠B，又∠GCO=∠FCO，得到三角形DOC與三角形OBC相似，同理三角形DOC與三角形DAO相似，進(jìn)而確定出三角形OBC與三角形DAO相似，由相似得比例，將AD=x，BC=y代入，并將AO與OB換為AB的一半，可得出x與y的乘積為定值，即y與x成反比例函數(shù)，即可得到正確的選項(xiàng)．

延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)Q，連接OE，OF，OD，OC，OQ，

∵AE，BF為圓O的切線，

∴OE⊥AE，OF⊥FB，

∴∠AEO=∠BFO=90°，

在Rt△AEO和Rt△BFO中，

∵，

∴Rt△AEO≌Rt△BFO（HL），

∴∠A=∠B，

∴△QAB為等腰三角形，

又∵O為AB的中點(diǎn)，即AO=BO，

∴QO⊥AB，

∴∠QOB=∠QFO=90°，

又∵∠OQF=∠BQO，

∴△QOF∽△QBO，

∴∠B=∠QOF，

同理可以得到∠A=∠QOE，

∴∠QOF=∠QOE，

根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：OD平分∠EOG，OC平分∠GOF，

∴∠DOC=∠EOF=∠A=∠B，

又∵∠GCO=∠FCO，

∴△DOC∽△OBC，

同理可以得到△DOC∽△DAO，

∴△DAO∽△OBC，

∴，

∴ADBC=AOOB=AB2，即xy=AB2為定值，

設(shè)k=AB2，得到y=，

則y與x滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式為反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0，x＞0）．

故選：C．